Question

6．已知F₁、F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，斜率不为0的直线l过左焦点F₁ 且交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
（1）求|F₁F₂|的长度．
（2）求证：S${\;}_{△AB{F}_{2}}$=2|y₁-y₂|
（3）求△ABF₂面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆求出a²=6，b²=2，得到c，即可求出|F₁F₂|．
（2）利用y₁•y₁＜0，求出三角形的面积，然后证明面积为：|y₁-y₂|．
（3）设直线l的方程为：x=my-2，联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}+1}\end{array}}\right.$消去x，利用韦达定理，求出三角形的面积S${\;}_{△AB{F}_{2}}$的表达式利用基本不等式求出最大值．

解答 解：（1）因为a²=6，b²=2
所以$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=2$…（1分）
故|F₁F₂|=4…（2分）
（2）证明：因为直线l过F₁，
且斜率不为0，所以y₁•y₁＜0…（3分）
所以，${S_{△AB{F_2}}}={S_{△A{F_1}{F_2}}}+{S_{△B{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_1}|+\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_2}|$
=2|y₁|+2|y₂|=2|y₁-y₂|…（6分）
（3）由（1）得，F₁（-2，0），设直线l的方程为：x=my-2
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}+1}\end{array}}\right.$得：（m²+3）y²-4my-2=0
所以，${y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{{m^2}+3}}，{y_1}•{y_2}=-\frac{2}{{{m^2}+3}}$…（8分）
因此，S${\;}_{△AB{F}_{2}}$=2|y₁-y₂|=$\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}•{y_2}}$=$2\sqrt{\frac{{16{m^2}}}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}+\frac{8}{{{m^2}+3}}}$…（8分）
=$\frac{{4\sqrt{6}•\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+3}}=\frac{{4\sqrt{6}}}{{\sqrt{{m^2}+1}+\frac{2}{{\sqrt{{m^2}+1}}}}}$$≤\frac{{4\sqrt{6}}}{{2\sqrt{2}}}=2\sqrt{3}$
…（9分）…（11分）
当且仅当$\sqrt{{m^2}+1}=\frac{2}{{\sqrt{{m^2}+1}}}$，即m=±1时取“=”号
所以，S${\;}_{△AB{F}_{2}}$的最大值为$2\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的求法，距离公式的应用，椭圆的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．