Question

设函数f（x）=lg（a+1-x）．
（1）若函数f（-x²）的值域为R，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程（x+1）10^f（x）=4在（0，2）有且仅有一个根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）的值域为R可得x²+a+1能取到一切正实数，从而可知△=-4（a+1）≥0，解出即得答案．
（2）将方程在（0，1）内仅有一个实数根化为函数在（0，1）内仅有一个零点，从而解得．

解答： 解：（1）∵f（x）=lg（a+1-x）．
∴f（-x²）=lg（a+1+x²）．
因为f（x）的值域为R，所以x²+a+1能取到一切正实数，
则△=-4（a+1）≥0，
解得a≤-1，
（2）∵f（x）=lg（a+1-x）．
∴a+1-x＞0，x∈（0，2）
∴a≥1
∴10^f（x）=a+1-x，
∴方程（x+1）（a+1-x）=4
即方程为x²+ax+（3-a）在（0，2）有且仅有一个根，
则f（0）•f（2）＜0
即：（3-a ）•（a+7）＜0
即：（a-3）•（a+7）＜0，
解得 a＞3，或a＜-7，
综上所述a＞3
实数a的取值范围为（3，+∞）

点评：本题考查对数函数的值域，函数的零点存在定理，属于基础题．