Question

7．设定义在R上的函数f（x）满足：
f（tanx）=$\frac{1}{cos2x}$，则f（${\frac{1}{2016}}$）+f（${\frac{1}{2015}}$）+…+f（${\frac{1}{2}}$）+f（0）+f（2）+…+f（2015）+f（2016）=1．

Answer 1

分析 由已知中f（tanx）=$\frac{1}{cos2x}$，根据万能公式，可得f（x）的解析式，进而可得f（x）+f（  $\frac{1}{x}$）=0，进而可得答案．

解答 解：∵f（tanx）=$\frac{1}{cos2x}$=$\frac{1+ta{n}^{2}x}{1-ta{n}^{2}x}$，
∴f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1+（\frac{1}{x}）^{2}}{1-（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$=-$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0
∴f（${\frac{1}{2016}}$）+f（${\frac{1}{2015}}$）+…+f（${\frac{1}{2}}$）+f（0）+f（2）+…+f（2015）+f（2016）=f（0）=1．
故答案为：1．

点评 本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据已知求出f（x）的解析式，以及f（x）+f（ $\frac{1}{x}$）=0是解答的关键．