Question

12．设公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=12，a₁，a₂，a₆成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{6n-1}{{{{（{3n+1}）}^2}•a_n^2}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由a₁，a₂，a₆成等比数列，可得：$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+5d）$，又S₃=12，3a₁+3d=12，联立解得a₁，d．即可得出．
（II）b_n=$\frac{6n-1}{（3n+1）^{2}（3n-2）^{2}}$=$\frac{1}{3}$$[\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁，a₂，a₆成等比数列，${a}_{2}^{2}$=a₁a₆，
∴$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+5d）$，化为：d=3a₁．
又S₃=12，3a₁+3d=12，化为a₁+d=4，联立解得a₁=1，d=3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）b_n=$\frac{6n-1}{{{{（{3n+1}）}^2}•a_n^2}}$=$\frac{6n-1}{（3n+1）^{2}（3n-2）^{2}}$=$\frac{1}{3}$$[\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{4}^{2}}-\frac{1}{{7}^{2}}）$+…+$\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$=$\frac{1}{3}[1-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$=$\frac{n（3n+2）}{（3n+1）^{2}}$

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．