Question

设.
(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;
(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;
(Ⅲ)求证:.

Answer 1

（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）
∴对一切恒成立等价于恒成立.
这只要求出函数的最小值即可.
（Ⅱ）直线的斜率为：
由题设有,不妨设
则  
这样问题转化为函数,在上单调递增
所以恒成立，即对任意,恒成立
这样只需求出的最小值即可.
（Ⅲ）不等式可变为

由(Ⅰ) 知 （时取等号）,在此不等式中
取得： 变形得：
取得： 变形得：
取得： 变形得：
取得： 变形得：
将以上不等式相加即可得证.
试题解析：(Ⅰ)
令，则
由得.所以在上单调递增, 在单调递减.
所以
由此得：
又时，即为  此时取任意值都成立
综上得： 
(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,
不妨设，则即：
令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,
所以恒成立 
所以，对任意,恒成立
又= 
故
(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,
取,得 
即  累加得


所以