Question

9．在等差数列{a_n}中，a₂=3，a₃+a₆=11
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$，其中n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=3，a₃+a₆=11，可得a₁+d=3，2a₁+7d=11，联立解出即可得出．
（Ⅱ）b_n=a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$=n+1+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=3，a₃+a₆=11，
∴a₁+d=3，2a₁+7d=11，解得a₁=2，d=1．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2+（n-1）=n+1．
（Ⅱ）b_n=a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$=n+1+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=[2+3+…+（n+1）]+$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}）$
=$\frac{n（n+3）}{2}$+$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{{n}^{2}+3n+1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．