Question

4．已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M在边PC上
（Ⅰ）当M在边PC上什么位置时，AP∥平面MBD？并给出证明．
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件之下，若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）M是PC中点时，AC与BD的交点O是AC的中点，从而OM∥PA，由此能证明AP∥平面MBD．
（Ⅱ）推导出PD⊥AD，AD⊥BD，PD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．

解答 解：（Ⅰ）M是PC中点时，AP∥平面MBD．
证明：∵底面ABCD是平行四边形，
∴AC与BD的交点O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴OM∥PA，
∵OM?平面MBD，AP?平面MBD，
∴AP∥平面MBD．
证明：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，
又AD⊥PB，PD∩PB=P，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PD⊥BD，
∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．