Question

20．已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2^x-3，则不等式f（x）≤-5的解集为（-∞，-3]．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．

解答 解：若x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=2^x-3，
∴当-x＞0时，f（-x）=2^-x-3，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=2^-x-3=-f（x），
则f（x）=-2^-x+3，x＜0，
当x＞0时，不等式f（x）≤-5等价为2^x-3≤-5即2^x≤-2，无解，不成立；
当x＜0时，不等式f（x）≤-5等价为-2^-x+3≤-5即2^-x≥8，
得-x≥3，即x≤-3；
当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）≤-5不成立，
综上，不等式的解为x≤-3．
故不等式的解集为（-∞，-3]．
故答案为：（-∞，-3]．

点评 本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．