Question

设函数f（x）=4cos2x（cos2x-1）+3-4cos2x．
（1）求使f（x）＞0的x取值范围；
（2）求x为何值时f（x）取得最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角不等式

专题：三角函数的求值

分析：（1）对于函数f（x）=4（cos2x-1）²-1，由f（x）＞0，求得cos2x-1＞

1

2

，即cos2x＜

1

2

，可得2kπ+

π

3

＜2x＜2kπ+

5π

3

，k∈z，由此求得x的范围．
（2）对于f（x）=4（cos2x-1）²-1，利用二次函数的性质求得f（x）取得最大值和最小值以及此时x的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=4cos2x（cos2x-1）+3-4cos2x=4cos²2x-8cos2x+3=4（cos2x-1）²-1，
由f（x）＞0，求得cos2x-1＞

1

2

，或cos2x-1＜-

1

2

，即cos2x＞

3

2

（舍去），或 cos2x＜

1

2

．
∴2kπ+

π

3

＜2x＜2kπ+

5π

3

，k∈z，故有 kπ+

π

6

＜x＜kπ+

5π

6

，k∈z．
（2）对于f（x）=4（cos2x-1）²-1，当cos2x=1时，函数f（x）取得最小值为-1，当cos2x=-1时，函数f（x）取得最大值为15．
由cos2x=1可得2x=2kπ，k∈z，求得x=kπ；由cos2x=-1，求得2x=2kπ+π，k∈z，即求得x=kπ+

π

2

．
综上可得，当x=kπ，k∈z时，cos2x=1，函数f（x）取得最小值为-1；
当x=kπ+

π

2

，k∈z时，cos2x=-1，函数f（x）取得最大值为15．

点评：本题主要考查二次函数的性质，三角不等式的解法，余弦函数的值域，属于基础题．