Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…）．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=a_n+n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过S_n=2a_n-2与S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）作差、整理可知a_n=2a_n-1（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）分组求和相加即得结论．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-2，
∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵a₁=2a₁-2即a₁=2满足上式，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=a_n+n=2ⁿ+n，
∴T_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）
=（2•2ⁿ-2）+$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$n（n+1）-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．