Question

13．已知△ABC中，tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，又$\sqrt{3}$tanA+$\sqrt{3}$tanB+1=tanBtanA，则角B的大小为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正切公式、诱导公式求得B+C=$\frac{π}{3}$，A+B=$\frac{5π}{6}$，再结合三角形的内角和公式求得角B的大小．

解答 解：△ABC中，∵tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，∴tan（B+C）（1-tanBtanC）+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，
∴tan（B+C）=$\sqrt{3}$，∴B+C=$\frac{π}{3}$．
又$\sqrt{3}$tanA+$\sqrt{3}$tanB+1=tanBtanA，∴$\sqrt{3}$tan（A+B）（1-tanAtanB）=tanBtanA-1，
∴tan（A+B）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A+B=$\frac{5π}{6}$．
再结合A+B+C=π，求得B=$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查两角和的正切公式、诱导公式的应用，三角形的内角和公式，属于基础题．