Question

四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如图，其中正视图是等边三角形，俯视图是直角梯形．
（Ⅰ）若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由．
（Ⅱ）求二面角B-AD-C的平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）判断总有BF丄CM，可以通过取BC的中点O，连接AO，证明AO⊥CD，然后证明CD⊥面ABC，推出CD⊥BF．BF⊥AC．通过直线与平面垂直的判定定理证明BF⊥面ACD，然后说明BF丄CM．
（Ⅱ）作BH垂直于AD于H点，连HF，∠BHF即为该二面角的平面角，然后解三角形即可求二面角B-AD-C的平面角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：是总有BF丄CM．理由如下：
取BC的中点O，连接AO，
由俯视图可知，AO⊥平面BCDE，CD?平面BCDE，
所以AO⊥CD                …（2分）
又CD⊥BC，AO∩BC=O，所以CD⊥面ABC，
因为BF?面ABC，
故CD⊥BF．
因为F是AC的中点，所以BF⊥AC．…（4分）
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD，
因为CM?面ACD，所以BF丄CM．…（6分）
（2）作BH垂直于AD于H点，连HF，∠BHF即为该二面角的平面角，BC=AB=AC=2，BF=

3

，
CD=2．AD=2

2

，在△AHF中，∠FAH=45°，AH⊥HF，∴HF=

2

2

，
tan∠BHF=

BF

HF

=

3

2 2

=

6

…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用．