Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）直线l为圆O：x²+y²=b²一条切线，记椭圆的离心率为e，
（1）若直线l的倾斜角为

π

6

，且恰好经过椭圆的右焦点，求e的大小；
（2）是否存在这样的e使得：①椭圆的右焦点在直线l上；②原点o关于直线l的对称点恰好在椭圆C上同时成立，若不存在，请求出e的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的右焦点，进而可设直线方程，利用直线l为圆O：x²+y²=b²的一条切线，可得一方程，利用椭圆的简单性质a²=b²+c²，根据离心率公式即可求出e的值；
（2）假设存在这样的e，使得原点O关于直线l的对称点恰好在椭圆C上，不妨设方程为x-my-c=0，从而利用原点O关于直线的对称点在椭圆上，即可求解．

解答： 解：（1）设椭圆的右焦点为（c，0），c=

a2-b2

，
则直线l的方程为x-

3

y-c=0，
∵直线l为圆O：x²+y²=b²的一条切线，
即有

|c|

1+3

=b
∴b=

1

2

c，
∴a²=b²+c²=

5

4

c²．
∴e=

c

a

=

2 5

5

；
（2）假设存在这样的e，使得原点O关于直线l的对称点恰好在椭圆C上，
且椭圆的右焦点在直线l上．
不妨设l的方程为x-my-c=0．
∵直线l为圆O：x²+y²=b²的一条切线，则

|c|

1+m2

=b，
∴m²=

c2

b2

-1，
设原点O关于直线的对称点O′（x₀，y₀），则x₀=

2c

1+m2

，y₀=-

2mc

1+m2

∵O'在椭圆上，代入可得

4c2

a2(1+m2)2

+

4m2c2

b2(m2-1)2

=1，
∴b²=3c²∴m²=

c2

b2

-1＜0不成立．
故不存在这样的e，使得椭圆的右焦点在直线l上，且原点O关于直线l的对称点恰好在椭圆C上．

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的离心率，考查对称问题，有一定的综合性．