Question

抛物线C₁：x²=my（m＞0）的准线与y轴交于F₁，焦点为F₂，若椭圆C₂以F₁、F₂为焦点，且离心率为e=

1

2

．
（1）当m=4时，求椭圆C₂的方程；
（2）若抛物线C₁与直线l：y=2x-m及y轴所围成的图形的面积为

10

3

，求抛物线C₁和直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）m=4时，求出焦点坐标以及a，b 的值，写出椭圆方程．
（2）利用定积分球面积，可得m的值，即可求抛物线C₁和直线l的方程．

解答： 解：（1）当m=4时，F₂（0，1），F₁（0，-1），∴c=1，
∵e=

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
∵c²=a²-b²，∴a=2，b=

3

，
故椭圆C₂的标准方程为

x2

3

+

y2

4

=1；
（2）抛物线C₁与直线l：y=2x-m，消去y可得x²-2m+m²=0，∴x=m；
∴S=

∫

m 0

[

1

m

x²-（2x-m）]dx=（

1

3m

x³-x²+mx）=

10

3

，
∴m²=10，
∵m＞0，∴m=

10

，
∴抛物线C₁的方程：x²=

10

y，直线l的方程为y=2x-

10

．

点评：本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质，考查定积分知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．