题目内容
如图，点A为圆外一点，过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，ADE是圆的割线，连接CD，BD，BE，CE．（1）求证：BE•CD=BD•CE；
（2）延长CD交AB于F，若CE∥AB，证明：F为线段AB的中点．
考点：与圆有关的比例线段,圆的切线的性质定理的证明
专题：选作题,立体几何
分析：（1）证明△ADC∽△ACE，可得
=
，同理，
=
，利用AB=AC，即可得出结论；
（2）由切割线定理，得FB2=FD•FC，证明△AFD∽△CFA，可得AF2=FD•FC，即可证明F为线段AB的中点．
| CD |
| CE |
| AC |
| AE |
| BD |
| BE |
| AB |
| AE |
（2）由切割线定理，得FB2=FD•FC，证明△AFD∽△CFA，可得AF2=FD•FC，即可证明F为线段AB的中点．
解答：
（1）证明：由题意可知∠ACD=∠AEC，∠CAD=∠EAC
∴△ADC∽△ACE，∴
=
，
同理，
=
，
又∵AB=AC，
∴
=
，∴BE•CD=BD•CE …（5分）
（2）解：如图，由切割线定理，得FB2=FD•FC，
∵CE∥AB，
∴∠FAD=∠AEC，
又∵AB切圆于B，∴∠ACD=∠AEC，∴∠FAD=∠FCA，
∴△AFD∽△CFA，∴
=
，即AF2=FD•FC，
∴FB2=AF2，即FB=FA，∴F为线段AB的中点． …（10分）
（1）证明：由题意可知∠ACD=∠AEC，∠CAD=∠EAC∴△ADC∽△ACE，∴
| CD |
| CE |
| AC |
| AE |
同理，
| BD |
| BE |
| AB |
| AE |
又∵AB=AC，
∴
| CD |
| CE |
| BD |
| BE |
（2）解：如图，由切割线定理，得FB2=FD•FC，
∵CE∥AB，
∴∠FAD=∠AEC，
又∵AB切圆于B，∴∠ACD=∠AEC，∴∠FAD=∠FCA，
∴△AFD∽△CFA，∴
| AE |
| CF |
| FD |
| AF |
∴FB2=AF2，即FB=FA，∴F为线段AB的中点． …（10分）
点评：本题考查三角形相似的判断与运用，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则
的值为（ ）
| 2sin2B-sin2A |
| sin2A |
A、-
| ||
B、
| ||
| C、1 | ||
D、
|
已知集合M={2，4}，N={1，2}，P={x|x=
，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（ ）
| a |
| b |
| A、3 | B、4 | C、8 | D、16 |