Question

11．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个向量，且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$＞0，|$\overrightarrow{b}$|≥4，若对任意m，n∈R，|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$|的最小值是1，|$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{a}$|的最小值是2，则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的最小值是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 数形结合，|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$|取得最小值是|CB|=1，|$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{a}$|取得最小值是|DA|=2．根据sin∠BOC=$\frac{|BC|}{|0B|}$=$\frac{|AB|}{|OA|}$=$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{2}{|OA|}$，以及|OA|≥4，可得|OB|≥2，sin∠BOC≤$\frac{1}{2}$，故有∠BOC≤$\frac{π}{6}$，由此求得则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|OA|•|OB|•cos∠BOC的最小值．

解答 解：已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个向量，且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$＞0，|$\overrightarrow{b}$|≥4，
若对任意m，n∈R，
如图，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OC}$=-m$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$，
则由题意可得，当（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$时，|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$|取得最小值是|CB|=1．
设$\overrightarrow{OD}$=-n$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{a}$，
当（$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{a}$ ）⊥$\overrightarrow{a}$时，|$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{a}$|取得最小值是|DA|=2．
根据sin∠BOC=$\frac{|BC|}{|OB|}$=$\frac{|AD|}{|OA|}$=$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{2}{|OA|}$．
再根据|OA|≥4，可得|OB|≥2，∴sin∠BOC≤$\frac{1}{2}$，
∴∠BOC≤$\frac{π}{6}$，
则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|OA|•|OB|•cos∠BOC的最小值是 4•2•cos$\frac{π}{6}$=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．