Question

2．已知无穷数列{a_n}，a₁=1，a₂=2，对任意n∈N^*，有a_n+2=a_n，数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），若数列$\{\frac{{{b_{2n}}}}{a_n}\}$中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b₁的值为2．

Answer 1

分析 依题意数列{a_n}是周期数咧，则可写出数列{a_n}的通项，由数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），可推出b_n+1-b_n=a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n为奇数}\\{2，n为偶数}\end{array}\right.$⇒$\frac{{b}_{2}}{{a}_{1}}={b}_{2}$，$\frac{{b}_{4}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{4}}{2}$，$\frac{{b}_{6}}{{a}_{3}}={b}_{6}$，$\frac{{b}_{8}}{{a}_{4}}=\frac{{b}_{8}}{2}$，…要使数列$\{\frac{{{b_{2n}}}}{a_n}\}$中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b₂=b₆=b₁₀=…=b_2n-1，b₄=b₈=b₁₂=…=b_4n，可得b₈=b₄=3即可，

解答 解：a₁=1，a₂=2，对任意n∈N^*，有a_n+2=a_n，
∴a₃=a₁=1，a₄=a₂=2，a₅=a₃=a₁=1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n为奇数}\\{2，n为偶数}\end{array}\right.$
∴b_n+1-b_n=a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n为奇数}\\{2，n为偶数}\end{array}\right.$，
∴b_2n+2-b_2n+1=a_2n+1=1，b_2n+1-b_2n=a_2n=2，
∴b_2n+2-b_2n=3，b_2n+1-b_2n-1=3
∴b₃-b₁=b₅-b₃=…=b_2n+1-b_2n-1=3，
b₄-b₂=b₆-b₄=b₈-b₆=…=b_2n-b_2n-2=3，b₂-b₁=1，
$\frac{{b}_{2}}{{a}_{1}}={b}_{2}$，$\frac{{b}_{4}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{4}}{2}$，$\frac{{b}_{6}}{{a}_{3}}={b}_{6}$，$\frac{{b}_{8}}{{a}_{4}}=\frac{{b}_{8}}{2}$，…，$\frac{{b}_{4n-2}}{{a}_{2n-1}}$=b_4n-2，$\frac{{b}_{4n}}{{a}_{2n}}=\frac{{b}_{4n}}{2}$，
∵数列$\{\frac{{{b_{2n}}}}{a_n}\}$中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，
∴b₂=b₆=b₁₀=…=b_4n-2，
b₄=b₈=b₁₂=…=b_4n，
解得b₈=b₄=3，
b₂=3，∵b₂-b₁=1，∴b₁=2，
故答案为：2

点评 本题考查了数列的推理与证明，属于难题．