Question

4．已知函数f（x）=sin x+cos x，f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求函数g（x）=f（x）f′（x）-f²（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）=2f′（x），求$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$的值．

Answer 1

分析 （I）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期，必须先求f（x）的导数，再进行化简F（x）．再决定如何求最值和周期．
（Ⅱ）根据f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx-2cosx-2sinx⇒tanx=$\frac{1}{3}$；再求$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$的值，可以采用“齐次化切法”．

解答 解：（I）已知函数f（x）=sinx+cosx，
则f′（x）=cosx-sinx．
代入F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
易得F（x）=cos2x+sin2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1
当2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$⇒x=kπ+$\frac{π}{8}$ （k∈Z）时，[F（x）]_max=$\sqrt{2}$+1，
最小正周期为T=π，
（Ⅱ）由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得tanx=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{{cos}^{2}x+2si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2{tan}^{2}x+1}{1-tanx}$=$\frac{11}{6}$．

点评 求f（x）的导数，必须保证求导的准确，要熟记求导公式．已知tanx=a，求其它三角函数代数式的值，常常采用“齐次化切法”．