Question

3．定义域为R的奇函数f（x）=$\frac{b-h（x）}{1+h（x）}$，其中h（x）是指数函数，且h（2）=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（2x-1）＞f（x+1）的解集．

Answer 1

分析 （1）根据h（2）=4求得指数函数h（x）的解析式，再根据f（0）=0，求得b的值，可得f（x）的解析式．
（2）根据f（x）在R上单调递减，可得2x-1＜x+1，求得x的范围．

解答 解：（1）由于h（x）是指数函数，可设h（x）=a^x，a＞0，a≠1，
∵h（2）=a²=4，∴a=2，∴函数f（x）=$\frac{b-h（x）}{1+h（x）}$=$\frac{b{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$．
∵函数f（x）=$\frac{b-h（x）}{1+h（x）}$是定义域为R的奇函数，故有f（0）=$\frac{b-1}{1+1}$=0，∴b=1，
∴f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$．
（2）∵f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-1，在R上单调递减，
故由不等式f（2x-1）＞f（x+1），可得2x-1＜x+1，求得x＜$\frac{2}{3}$，
即原不等式的解集为{x|x＜$\frac{2}{3}$ }．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题．