Question

（1）已知不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]，求不等式-x²+bx+a＞0的解集．
（2）若不等式ax²+4x+a＞1-2x²对任意x∈R均成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据不等式ax²-bx-1≥0的解集求出a、b的值，再求不等式-x²+bx+a＞0的解集即可；
（2）把不等式ax²+4x+a＞1-2x²化为标准形式，由不等式对任意的实数x均成立，列出条件不等式组，求出解集即可．

解答： 解：（1）∵不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]，
∴方程ax²-bx-1=0的两个实数根是-

1

2

，-

1

3

；
∴

- 1 2 - 1 3 = b a - 1 2 ×(- 1 3 )=- 1 a

，
解得a=-6，b=5；
∴不等式-x²+bx+a＞0化为x²-5x+6＜0，
解得2＜x＜3；
∴不等式-x²+bx+a＞0的解集是{x|2＜x＜3}．
（2）∵不等式ax²+4x+a＞1-2x²可化为
（a+2）x²+4x+a-1＞0，
对任意的实数x均成立，
∴

a+2＞0 16-4(a+2)(a-1)＜0

，
即

a＞-2 a＞2或a＜-3

，
解得a＞2；
∴实数a的取值范围是{a|a＞2}．

点评：本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系问题，也考查了不等式恒成立的问题，根与系数的关系的应用问题，是基础题．