Question

设O是锐角△ABC的外心，若∠C=75°，且△AOB，△BOC，△COA的面积满足关系式S_△AOB+S_△BOC=

3

S_△COA，求∠A．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：根据C的度数，利用内角和定理用A表示出B，设圆O为△ABC外接圆，令圆O半径为r，可得OA=OB=OC=r，利用圆周角定理得到∠AOB=2∠C=150°，∠BOC=2∠A，∠COA=2∠B，分别表示出三角形AOB，三角形BOC，以及三角形COA的面积，代入已知等式，整理后求出cos2A的值，进而确定出A的度数，检验即可．

解答： 解：由题意得∠B=180°-∠A-∠C=105°-∠A，
设圆O为△ABC外接圆，令圆O半径为r，
∴OA=OB=OC=r，∠AOB=2∠C=150°，∠BOC=2∠A，∠COA=2∠B，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB•sin∠AOB=

1

4

r²； S_△BOC=

1

2

OB•OC•sin∠BOC=

1

2

r²sin2A； S_△COA=

1

2

OC•OA•sin∠COA=

1

2

r²sin2B，
代入已知等式得：

1

4

r²+

1

2

r²sin2A=

3

×

1

2

r²sin2B，
整理得：1+2sin2A=2

3

sin2B=2

3

sin（210°-2A）=2

3

（sin210°cos2A-cos210°sin2A）=2

3

（

3

2

sin2A-

1

2

cos2A）=3sin2A-

3

cos2A，
即1+

3

cos2A=sin2A，
两边平方得：1+2

3

cos2A+3cos²2A=sin²2A=1-cos²2A，
整理得：cos2A（

3

+2cos2A）=0，
可得cos2A=0或cos2A=-

3

2

，
∵△ABC为锐角三角形，∴0＜∠A＜90°，
∴0＜2∠A＜180°，
当cos2A=0时，2∠A=90°，即∠A=45°；
当cos2A=-

3

2

时，2∠A=150°，即∠A=75°，
由S_△AOB+S_△BOC=

3

S_△COA等同于sin2C+sin2A=

3

sin2B，
当∠A=45°时，∠C=75°，∠B=60°，代入该条件，符合；
当∠A=75°时，∠C=75°，∠B=30°，代入该条件，不符合，舍去，
则∠A=45°．

点评：此题考查了三角形的面积公式，三角形外心性质，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握三角形的面积公式是解本题的关键．