Question

已知函数f（x）=

1+ln(x-1)

x-a

（a为常数），x=2是函数f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f（x）≥

m

x

恒成立，求实数m的最大值；
（Ⅲ）求证：n-2（

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）＜ln（n+1）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意得：f（x）=

x-a x-1 -1-ln(x-1)

(x-a)2

，由x=2是函数f（x）的一个极值点，得f′（2）=0，解得：a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

1+ln(x-1)

x-1

，定义域为（1，+∞），得问题等价于m≤x•

1+ln(x-1)

x-1

在[2，+∞）上恒成立，构造函数g（x）=x•

1+ln(x-1)

x-1

，则g′（x）=

x-1-ln(x-1)

(x-1)2

，令h（x）=x-1-ln（x-1），则h′（x）=

x-2

x-1

，得h（x）≥h（2）=1＞0，从而g（x）在[2，+∞）递增，进而求出m的范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x≥2时，f（x）≥

2

x

，即

1+ln(x-1)

x-1

≥

2

x

，令x-1=

k+1

k

，得n-2（

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

）＜ln（

2

1

×

3

2

×…×

n+1

n

），即n-2（

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

）＜ln（n+1）．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：f（x）=

x-a x-1 -1-ln(x-1)

(x-a)2

，
∵x=2是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=0，解得：a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

1+ln(x-1)

x-1

，定义域为（1，+∞），
∴问题等价于m≤x•

1+ln(x-1)

x-1

在[2，+∞）上恒成立，
构造函数g（x）=x•

1+ln(x-1)

x-1

，则g′（x）=

x-1-ln(x-1)

(x-1)2

，
令h（x）=x-1-ln（x-1），则h′（x）=

x-2

x-1

，
∴x≥2时，h′（x）＞0，h（x）在[2，+∞）递增，
∴h（x）≥h（2）=1＞0，
∴g′x）＞0，
∴g（x）在[2，+∞）递增，
∴g（x）_min=g（2）=2，∴m≤2，

∴实数m的最大值为2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x≥2时，f（x）≥

2

x

，即

1+ln(x-1)

x-1

≥

2

x

，
整理得ln（x-1）≥1-

2

x

＞1-

2

x-1

，
令x-1=

k+1

k

，则1-

2

x-1

=1-2

k

k+1

，
即ln

k+1

k

＞1-2

k

k+1

，
k=1时，1-2×

1

2

＜ln

2

1

，
k=2时，1-2×

2

3

＜ln

3

2

，
…，
k=n时，1-2

n

n+1

＜ln

n+1

n

，
将以上不等式两端分别相加得：
n-2（

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

）＜ln（

2

1

×

3

2

×…×

n+1

n

），
即n-2（

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

）＜ln（n+1）．

点评：本题考察了函数的单调性，求函数的最值问题，求参数的范围问题，关于导数的应用，是一道综合题．