Question

5．已知等比数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1（n≥2），等差数列{b_n}中，b₁=2，点P（b_n，b_n+1）在一次函数y=x+2的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得等比数列{a_n}的首项和公比都为2，等差数列{b_n}的首项和公差都为2，运用等差数列和等比数列的通项公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）等比数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1（n≥2），
可得等比数列{a_n}的首项和公比都为2，
则a_n=2•2^n-1=2ⁿ，n∈N*，
等差数列{b_n}中，b₁=2，点P（b_n，b_n+1）在一次函数y=x+2的图象上，
可得b_n+1=b_n+2，
等差数列{b_n}的首项为2，公差为2，
可得b_n=2+2（n-1）=2n，n∈N*；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，
则数列{c_n}前n项和T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
相减可得-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²，
化简可得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，注意运用等比数列的求和公式，属于中档题．