Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求二面角F-DE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，AC交BD于点G，连结EG，以D为原点，分别以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明PA∥平面EDB．
（2）求出平面EFD的一个法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出二面角F-DE-B的正弦值．

解答 证明：（1）连结AC，AC交BD于点G，连结EG．
以D为原点，分别以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，
依题意得$A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，
故点G的坐标为$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，且$\overrightarrow{PA}=（1，0，-1），\overrightarrow{EG}=（\frac{1}{2}，0，-\frac{1}{2}）$．
所以$\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{EG}$，即PA∥EG，而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
因此PA∥平面EDB．----------------（6分）
解：（2）$B（1，1，0），\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$，又$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
故$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{DE}=0$，所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．----------------（7分）
所以平面EFD的一个法向量为$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$．
$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}），\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，
不妨设平面DEB的法向量为$\overrightarrow a=（x，y，z）$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow a•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}（y+z）=0\\ \overrightarrow a•\overrightarrow{DB}=x+y=0\end{array}\right.$
不妨取x=1则y=-1，z=1，即$\overrightarrow a=（1，-1，1）$----------------（10分）
设所求二面角F-DE-B的平面角为θ$cosθ=-\frac{{\overrightarrow a•\overrightarrow{PB}}}{{|\overrightarrow a||\overrightarrow{PB}|}}=\frac{1}{3}$，
因为θ∈[0，π]，所以$sinθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
二面角F-DE-B的正弦值大小为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．----------------（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．