Question

1．若函数f（x）=ax²-lnx在[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围是a≤0．

Answer 1

分析 先求出原函数的导数，再根据函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数，将原问题转化为f′（x）≤0在[1，+∞）恒成立问题，列出关于a的不等关系解之即得．

解答 解：∵f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，函数f（x）=ax²-lnx在[1，+∞）上是减函数，可得2ax-$\frac{1}{x}$≤0（x≥1）恒成立，即a≤$\frac{1}{2{x}^{2}}$，y=$\frac{1}{2{x}^{2}}$在[1，+∞）上是减函数，
可得a≤0．
故答案为：a≤0．

点评 本小题主要考查函数利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．