Question

4．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=6cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=-3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数）．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）求直线l分圆C所得的两弧程度之比．

Answer 1

分析 （1）圆的极坐标方程ρ=6cosθ可化为ρ²=6ρcosθ，利用极坐标公式，化为普通方程；
（2）求出圆心到直线的距离，可得直线 l圆截得的弦所对的圆心角，即可得出结论．

解答 解：（1）圆的极坐标方程ρ=6cosθ可化为ρ²=6ρcosθ，
利用极坐标公式，化为普通方程是x²+y²=6x，即（x-3）²+y²=9．
（2）圆C的方程为（x-3）²+y=9，圆心C为（3，0），半径r=3，
直线l的方程为y+3=$\sqrt{3}（x-3）$，即$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}-3=0$，
圆心到直线的距离d=$\frac{|3\sqrt{3}-3\sqrt{3}-3|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{3}{2}$，
∴直线 l圆截得的弦所对的圆心角为120°，直线l将圆C分成弧长之比为1：2的两段圆弧．

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．