Question

9．在Rt△ABC中，直角边AC，BC长分别为3，6，点E，F是AB的三等分点，D是BC中点，AD交CE，CF分别于点G，H，则$\overrightarrow{CG}$•$\overrightarrow{CH}$=（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{11}{3}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 根据条件，可分别以CB，CA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可求出C，A，B，E，F，D这几点的坐标，从而可分别求出直线AD，CE，CF的方程，联立方程即可分别求出点G，H的坐标，进而求出向量$\overrightarrow{CG}，\overrightarrow{CH}$的坐标，从而求出该数量积的值．

解答 解：如图，分别以CB，CA为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
C（0，0），A（0，3），B（6，0），E（2，2），F（4，1），D（3，0）；
∴${k}_{AD}=-1，{k}_{CE}=1，{k}_{CF}=\frac{1}{4}$；
∴直线AD的方程为y-3=-x，即y=3-x；
直线CE：y=x，直线CF：y=$\frac{1}{4}x$；
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3-x}\\{y=x}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，G（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3-x}\\{y=\frac{1}{4}x}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，$H（\frac{12}{5}，\frac{3}{5}）$；
∴$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{CH}=（\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）•（\frac{12}{5}，\frac{3}{5}）=\frac{18}{5}+\frac{9}{10}$=$\frac{9}{2}$．
故选D．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求过两点的直线方程，根据直线方程可求直线的交点坐标，以及向量数量积的坐标运算．