题目内容
函数f（x）满足对?x∈R，都有f（x+1）=f（-x+3），且函数f（x+1）为奇函数，如果f（0）=5，那么f（2014）= ．
考点：函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：根据奇函数的性质和条件求出函数的周期，再利用周期性和条件求出f（2014）的值．
解答：
解：∵函数f（x+1）为奇函数，∴f（x+1）=-f（-x+1），
∵满足对?x∈R，都有f（x+1）=f（-x+3），
∴f（-x+3）=-f（-x+1），
令x取-x+1代入上式得，f（x+2）=-f（x），
令x取x+2代入上式得，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则函数是周期函数，且周期是4，
又∵f（0）=5，f（x+2）=-f（x），
∴f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=-f（0）=-5，
故答案为：-5．
∵满足对?x∈R，都有f（x+1）=f（-x+3），
∴f（-x+3）=-f（-x+1），
令x取-x+1代入上式得，f（x+2）=-f（x），
令x取x+2代入上式得，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则函数是周期函数，且周期是4，
又∵f（0）=5，f（x+2）=-f（x），
∴f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=-f（0）=-5，
故答案为：-5．
点评：本题考查了函数的奇偶性和周期性的综合应用，主要利用赋值法进行求解，属于中档题．
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