Question

19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足asinC=$\sqrt{3}$ccosA．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若△ABC面积S=5$\sqrt{3}$，b=5，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知根据正弦定理得：$\sqrt{3}$cosA=sinA，根据同角三角函数基本关系式可求tanA=$\sqrt{3}$，结合范围A∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．
（Ⅱ）由已知及三角形面积公式可求c，根据余弦定理可得a的值，利用正弦定理即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由题意得：$\frac{a}{\sqrt{3}cosA}$=$\frac{c}{sinC}$，根据正弦定理得：$\sqrt{3}$cosA=sinA，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，…（4分）
（Ⅱ）由S=5$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，得：c=4，…（6分）
根据余弦定理得：a²=4²+5²-2×$5×4×\frac{1}{2}$，解得：a=$\sqrt{21}$．…．…（8分）
由于2R=$\frac{a}{sinA}$=2$\sqrt{7}$，…（10分）
由正弦定理得sinBsinC=$\frac{bc}{4{R}^{2}}$=$\frac{5×4}{28}$=$\frac{5}{7}$．        …．（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．