Question

4．已知函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则m²+$\frac{1}{4}$n的最小值为$\frac{3}{16}$．

Answer 1

分析 首先利用对数函数图象求出A点坐标，得到关于m，n的等式，将所求转化为含有m的二次函数，配方求最小值．

解答 解：因为函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，所以A（-2，-1），
又点A在直线mx+ny+1=0上，所以-2m-n+1=0，即2m+n=1，
所以m²+$\frac{1}{4}$n=m²+$\frac{1}{4}（1-2m）$=m²-$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{4}$=（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{16}$$≥\frac{3}{16}$；
故答案为：$\frac{3}{16}$．

点评 本题考查了函数图象以及利用二次函数求代数式的最值．