Question

直线x+y=2a（a＞1，a为常数）与曲线y=

1

x

交于两点A、B，过线段AB上一点P分别作x轴、y轴的垂线l₁、l₂，则l₁、l₂与曲线y=

1

x

所围成的封闭图形的面积最大值为

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：先求出l₁、l₂与曲线y=

1

x

所围成的封闭图形的面积为S=

∫

m 1 n

（n-

1

x

）dx=（nx-lnx）

|

m 1 n

=mn-lnmn-1，再利用基本不等式，即可求出面积最大值．

解答： 解：设P（m，n），则积分区间为（

1

n

，m），
∴l₁、l₂与曲线y=

1

x

所围成的封闭图形的面积为S=

∫

m 1 n

（n-

1

x

）dx=（nx-lnx）

|

m 1 n

=mn-lnmn-1，
∵m+n=2a≥2

mn

，
∴mn≤a²，
∴mn-lnmn-1≤a²-1-2lna．
故答案为：a²-1-2lna．

点评：本题考查定积分在求面积中的应用，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．