Question

2．设椭圆$M：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）经过点$P（1，\sqrt{2}）$，其离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ） 动直线$l：y=\sqrt{2}x+m$交椭圆M于A、B两点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，则椭圆的离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，将$P（1，\sqrt{2}）$代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆M的方程；
（Ⅱ） 将直线$l：y=\sqrt{2}x+m$代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，则P到AB的距离为d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{3}}$，则利用三角形的面积公式及韦达定理即可求得△PAB面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，则椭圆的离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由椭圆经过点$P（1，\sqrt{2}）$，
得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{\sqrt{2}}^2}}}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=\sqrt{2}\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
∴椭圆M的方程为 $\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，
由△=（2$\sqrt{2}$m）²-16（m²-4）＞0，得，$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}$．
∴$|AB|=\sqrt{1+2}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{3}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{\frac{1}{2}{m^2}-{m^2}+4}=\sqrt{3}\sqrt{4-\frac{m^2}{2}}$．
又P到AB的距离为d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{3}}$．
则${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\sqrt{3}\sqrt{4-\frac{m^2}{2}}\frac{|m|}{{\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{m^2}（4-\frac{m^2}{2}）}=\frac{1}{{2\sqrt{2}}}\sqrt{{m^2}（8-{m^2}）}$…（10分）
∴${S_{△ABC}}≤\frac{1}{{2\sqrt{2}}}•\frac{{{m^2}+（8-{m^2}）}}{2}=\sqrt{2}$当且仅当$m=±2∈（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$取等号．
∴${（{S_{△ABC}}）_{max}}=\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．