Question

12．已知△ABC三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC+$\sqrt{3}$csinA-b-c=0，
（1）求角A的值；
（2）求函数f（x）=cos2x+4sinAsinx在区间$[\frac{2π}{7}，\frac{3π}{4}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC≠0，可求得$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，即可解得A的值．
（2）利用特殊角的三角函数值可求sinA，利用三角函数恒等变换的应用，平方可求f（x）=-2（sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{5}{2}$，利用正弦函数的性质及二次函数的图象和性质即可计算得解．

解答 （本题满分14分）
解：（1）因为$acosC+\sqrt{3}csinA-b-c=0$，
由正弦定理得$sinAcosC+\sqrt{3}sinCsinA-sinB-sinC=0$，…（2分）
即$\sqrt{3}sinCsinA-cosAsinC-sinC=0$．
因为sinC≠0，得$\sqrt{3}sinA-cosA=1$，…（4分）
所以$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，…（6分）
解得$A=\frac{π}{3}$．…（7分）
（2）由上可得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（8分）
所以$f（x）=cos2x+4sinAsinx=1-2{sin^2}x+2\sqrt{3}sinx=-2{（sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}+\frac{5}{2}$．…（11分）
因为$x∈[\frac{2π}{7}，\frac{3π}{4}]$，
所以$sinx∈[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$，…（12分）
故函数f（x）的值域为$[\sqrt{6}，\frac{5}{2}]$． …（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，正弦函数的性质及二次函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．