Question

在极坐标系中，已知点P（2，

3π

2

），曲线C：p=4cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，过点P作倾斜角为α的直线l．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
（2）若直线l交曲线C于点M，N两点，求|PM|²+|PN|²的最大值及其相应α的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）点P（2，

3π

2

），化为直角坐标P（0，-2），即可得出过点P作倾斜角为α的直线l的参数方程；
（2）设PM与PN对应的参数分别为t₁，t₂．把直线l的参数方程代入圆的方程可得t²-4t（cosα+sinα）+4=0，由△＞0，可得sin2α∈（0，1]．利用根与系数的关系可得|PM|²+|PN|²=

t

2 1

+

t

2 2

=(t1+t2)2-2t₁t₂=16sin2α+8，即可得出．

解答： 解：（1）点P（2，

3π

2

），化为直角坐标P（0，-2），
∴过点P作倾斜角为α的直线l的参数方程为

x=tcosα y=-2+tsinα

（t为参数）．α∈[0，π）
曲线C：p=4cosθ，可得ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x．
（2）设PM与PN对应的参数分别为t₁，t₂．
把直线l的参数方程代入圆的方程可得t²-4t（cosα+sinα）+4=0，
△=16（1+sin2α）-16=16sin2α＞0，∴sin2α∈（0，1]．
∴t₁+t₂=4（cosα+sinα），t₁t₂=4．
∴|PM|²+|PN|²=

t

2 1

+

t

2 2

=(t1+t2)2-2t₁t₂
=16（1+sin2α）-8
=16sin2α+8≤24，
当sin2α=1时，即α=

π

4

时取等号．
∴|PM|²+|PN|²的最大值为24，及其相应α=

π

4

．

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、直线参数方程的应用、直线与圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．