国庆期间.高速公路堵车现象经常发生．某调查公司为了了解车速.在赣州西收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序.每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查.将他们在某段高速公路的车速.[65.70).[70.75).[75.80).[80.85).[85.90]后.得到如图的频率分布直方图．(1)求这40辆小型汽车车速的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

国庆期间，高速公路堵车现象经常发生．某调查公司为了了解车速，在赣州西收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h））分成六段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后，得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从这40辆车速在[60，70）的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在[65，70）的概率．

分析（1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．
（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为A，B，C，D，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．

解答解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为77.5…（2分）
由题图可知，中位数应该在75～80之间，设为m，
则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（m-75）=0.5，解得：m=77.5
即中位数的估计值为77.5…（6分）
（2）这40辆车中，车速在[60，70）的共有5×（0.01+0.02）×40=6（辆），
其中车速在[65，70）的有5×0.02×40=4（辆），记为A，B，C，D
车速在[60，65）的有5×0.01×40=2（辆），记为a，b…（8分）
从车速在[60，70）的这6辆汽车中任意抽取2辆的可能结果有15种不同的结果，
其中抽出的2辆车车速都在[65，70）的结果有6种…（10分）
因为抽到每种结果都是等可能的，所以从这40辆车速在[60，70）的汽车中任意抽取2辆，
抽出的2辆车车速都在[65，70）的概率为$P=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$…（12分）

点评解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．