Question

8．已知对任意x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，幂函数$f（x）={x^{-\frac{p^2}{2}+p+\frac{3}{2}}}$（p∈Z），满足f（x₁）＜f（x₂），并且对任意的x∈R，f（x）-f（-x）=0．
（1）求p的值，并写出函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数f（x），设g（x）=-qf（x）+（2q-1）x+1，问：是否存在负实数q，使得g（x）在（-∞，-4）上是减函数，且在[-4，+∞）上是增函数？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用幂函数的单调性奇偶性即可得出．
（2）g（x）=-qf（x）+（2q-1）x+1=-qx²+（2q-1）x+1，利用二次函数的单调性即可判断出结论．

解答 解：（1）由题意得知，函数是增函数，$-\frac{p^2}{2}+p+\frac{3}{2}＞0$，得到p在（-1，3）之中取值，再由f（x）-f（-x）=0，可知f（x）为偶函数，那么p从0，1，2三个数验证，
得到p=1为正确答案，则f（x）=x²．
（2）g（x）=-qf（x）+（2q-1）x+1=-qx²+（2q-1）x+1，若存在负实数q，使得g（x）在（-∞，-4）上是减函数，且在[-4，+∞）上是增函数，则对称轴$x=\frac{2q-1}{2q}=-4$，$q=\frac{1}{10}$与q＜0不符，
故不存在符合题意的q．

点评 本题考查了幂函数的单调性奇偶性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于单调性题．