Question

18．下列说法正确的是（　　）
（1）已知等比数列{a_n}，则“数列{a_n}单调递增”是“数列{a_n}的公比q＞1”的充分不必要条件；
（2）二项式${（{2x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^5}$的展开式按一定次序排列，则无理项互不相邻的概率是$\frac{1}{5}$；
（3）已知$S=\int_0^{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}-{x^2}}}dx$，则$S=\frac{π}{16}$；
（4）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为40．

• A． （1）（2）
• B． （2）（3）
• C． （1）（3）
• D． （2）（4）

Answer 1

分析 （1），等比数列{a_n}单调递增时⇒公比q＞1且首项a₁＞0，或公比0＜q＞1且首项a₁＜0；
（2），根据二项式${（{2x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^5}$的展开式的通项公式可得展开式中无理项项数，再用古典概型概率计算公式可求；
（3），$S=\int_0^{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}-{x^2}}}dx$表示圆x²+y²=$\frac{1}{4}$（y≥0，0≤x≤$\frac{1}{2}$）的圆的面积；
（4），1000÷40=25．

解答 解：对于（1），等比数列{a_n}单调递增时⇒公比q＞1且首项a₁＞0，或公比0＜q＜1且首项a₁＜0，故错；
对于（2），二项式${（{2x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^5}$的展开式的通项公式为：T_r+1=${C}_{5}^{r}（2）^{5-r}{x}^{5-\frac{3}{2}r}$当r=0、2、4时为有理项，即展开式中共6项，无理项有3项，按一定次序排列，则无理项互不相邻的概率是$\frac{{{A}_{3}^{3}A}_{4}^{3}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{5}$，故正确；
对于（3），$S=\int_0^{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}-{x^2}}}dx$表示圆x²+y²=$\frac{1}{4}$（y≥0，0≤x≤$\frac{1}{2}$）的圆的面积，则$S=\frac{π}{16}$，故正确；
对于（4），为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25，故错．
故选：B．

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题．