Question

设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中a，b，c为三角形的三边，且c为最大边，现有三个命题：
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，a^x，b^x，c^x均能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．
其中的真命题为

 

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明；
②举反例进行判断是否正确；
③利用函数零点的存在性定理进行判断．

解答： 解：①∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，
∵c为最大边，∴c＞a＞0，c＞b＞0，
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1
当x∈（-∞，1）时，
f（x）=a^x+b^x-c^x
=c^x•[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]＞c^x•[

a

c

+

b

c

-1]=c^x•

a+b-c

c

＞0，
∴①正确．
②令a=2，b=3，c=4，则a．b．c可以构成三角形，
但a²=4，b²=9，c²=16不能构成三角形，
∴②错误．
③∵c＞a＞0，c＞b＞0，
若△ABC为钝角三角形，则a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴根据根的存在性定理知在区间（1，2）上存在零点，
即?x∈（1，2），使f（x）=0，
∴③正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查了函数零点的存在性定理和指数函数的性质以及余弦定理的应用问题，是综合题．