Question

在四棱锥S-ABCD中，平面SAB⊥平面SAD，侧面SAB是边长为2

3

的等边三角形，底面ABCD是矩形，且BC=4，则该四棱锥外接球的表面积等于

 

．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质,球内接多面体

专题：空间位置关系与距离

分析：依题意，设AB的中点为E，作图如下，利用面面垂直的性质与线面垂直的判定定理可证得SE⊥底面ABCD，设该四棱锥外接球的球心为O，半径为R，O到底面的距离为h，则r²+h²=R²，即7+h²=R²=4+（3-h）²，可求得h与R，从而可得该四棱锥外接球的表面积．

解答： 解：∵平面SAB⊥平面SAD，平面SAB∩平面SAD=SA，侧面SAB是边长为2

3

的等边三角形，设AB的中点为E，SA的中点为F，
则BF⊥SA，∴BF⊥平面SAD，∴BF⊥AD，底面ABCD是矩形，∴AD⊥平面SAB，SE?平面SAB，
∴AD⊥SE，又SE⊥AB，AB∩AD=A，
∴SE⊥底面ABCD，作图如下：

∵SAB是边长为2

3

的等边三角形，
∴SE=2

3

sin60°=2

3

×

3

2

=3．
又底面ABCD是矩形，且BC=4，
∴矩形ABCD的对角线长为

42+(2 3 )2

=2

7

，
∴矩形ABCD的外接圆的半径为r=

7

．
设该四棱锥外接球的球心为O，半径为R，O到底面的距离为h，
则r²+h²=R²，即7+h²=R²，又R²=2²+（SE-h）²=4+（3-h）²，
∴7+h²=4+（3-h）²，
∴h=1．
∴R²=7+h²=8，R=2

2

，
∴该四棱锥外接球的表面积S_球=4π×（2

2

）²=32π．

点评：本题考查面面垂直的性质与线面垂直的判定定理，着重考查球内接多面体中球的半径的运算，属于难题．