Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为

6

4

，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明AE⊥AD、PA⊥AE，即可证明AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出AP，求出平面AEF的一法向量，利用向量的夹角公式求二面角E-AF-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD 且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（

3

，0，0），F（

3

2

，

1

2

，

a

2

），
所以

PB

=（

3

，-1，-a），且

AE

=（

3

，0，0）为平面PAD的法向量，
设直线PB与平面PAD所成的角为θ，
由sinθ=|cos＜

PB

，

AE

＞|=

| PB • AE |

| PB |•| AE |

=

3

4+a2 3

=

6

4

解得a=2．
所以

AE

=（

3

，0，0），

AF

=（

3

2

，

1

2

，1）
设平面AEF的一法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），则

3 x1=0 3 2 x1+ 1 2 y1+Z1=0

取z₁=-1，则

m

=（0，2，-1），
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故

BD

为平面AFC的一法向量，又

BD

=（-

3

，3，0），
所以cos＜

m

，

BD

＞=

2×3

5 × 12

=

15

5

．
因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的余弦值，考查用向量的方法解决二面角的问题，平面法向量的概念，向量夹角的余弦公式．