Question

11．点P（a，b）在直线x+y+1=0上，则$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用配方得到$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$，根据两点间的距离公式将根式进行转化，结合点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$，
设A（1，1），则$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$=|PA|，
则当PA垂直直线x+y+1=0时，PA取得最小值，
则此时A到直线的距离d=$\frac{|1+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
即$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值是$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
故答案为：$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

点评 本题主要考查两点间距离的应用，利用配方法将根式进行转化是解决本题的关键．