Question

20．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0．
（1）用定义证明f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）问题转化为x∈[-1，1]，a∈[-1，1]，t²-2at+1≥1恒成立，根据函数的单调性求出t的范围即可．

解答 （1）证明：任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈[-1，1]，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$\frac{{f（{x_1}）+f（-{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$•（x₁-x₂），
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知$\frac{{f（{x_1}）+f（-{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，又 x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）由（1）可知f（x）在[-1，1]上为增函数，且f（1）=1，
故对x∈[-1，1]，恒有f（x）≤1，
所以要使f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，
故t²-2at≥0，记g（a）=t²-2at，对a∈[-1，1]，有g（a）≥0，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0，g（-1）≥0，g（1）≥0，
解得，t≤-2或t=0或t≥2，
∴t的取值范围是：{t|t≤-2或t=0或t≥2}．

点评 本题考查了函数的单调性、函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．