Question

19．正三角形ABC的边长为4，P、Q分别是AB、AC上的点，PQ∥BC，将△ABC沿PQ折起，使平面APQ⊥平面BPQC，设折叠后A、B两点间的距离为d，则d的最小值为（　　）

• A． 10
• B． $2\sqrt{5}$
• C． $2\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 设正三角形ABC的BC边上的高为AD，AD与PQ交于E，则d=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}+D{B}^{2}}$，由此能利用均值定理能求出d的最小值．

解答 解：设正三角形ABC的BC边上的高为AD，AD与PQ交于E，
折叠后，A-E-D-B形成折线，
折线的三段AE、ED、DB两两垂直，
∵AE+ED=$\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$，BD=2，
∴由均值不等式得当AE=ED=$\sqrt{3}$时，AE²+ED²取最小值6，
根据空间直角坐标系的距离计算公式知：
d=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}+D{B}^{2}}$≥$\sqrt{6+4}$=$\sqrt{10}$．
∴d的最小值为$\sqrt{10}$．
故选：D．

点评 本题考查两点间的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理灵活运用和空间思维能力的培养．