Question

20．已知数列{a_n}满足${a_1}=1，\frac{{n{a_n}-2{a_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}=n，n∈{N^*}$，则数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，得到$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{5}$，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘可得

解答 解：∵${a_1}=1，\frac{{n{a_n}-2{a_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}=n，n∈{N^*}$，
∴na_n-2a_n+1=na_n+1，
∴（n+2）a_n+1=na_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{5}$，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+1}$，
累乘可得∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{4}$×$\frac{3}{5}$×…$\frac{n-1}{n}$×$\frac{n}{n+1}$，
∴a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，
故答案为：a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$

点评 本题考查了利用累乘法求出数列的通项公式，属于中档题