Question

已知函数f（x）=1-

x

alnx

（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＞1，在区间[a，2a]上f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的定义域，求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）运用参数分离，得在区间[a，2a]上f（x）＜0恒成立，即为a＜

x

lnx

在区间[a，2a]上恒成立，只要求出右边的最小值即可．令g（x）=

x

lnx

，求出导数，求出单调区间，讨论若2a≤e，若a≤e＜2a，若a＞e，判断单调性，求出最小值，注意检验，最后求并集即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=1-

x

alnx

（a＞0）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．
导数为f′（x）=-

alnx-a

(alnx)2

=

a(1-lnx)

(alnx)2

，
由f′（x）＞0，解得，0＜x＜e，且x≠1，
由f′（x）＜0，解得，x＞e，
则f（x）的增区间为（0，1），（1，e），减区间为（e，+∞）；
（2）在区间[a，2a]上f（x）＜0恒成立，即为
a＜

x

lnx

在区间[a，2a]上恒成立．
令g（x）=

x

lnx

，g′（x）=

lnx-1

(lnx)2

，
当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜1或1＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）递减．
若2a≤e，则[a，2a]递减，即有g（2a）最小，且为

2a

ln(2a)

，
由a＜

2a

ln(2a)

，解得，a＜

e2

2

，即有1＜a≤

e

2

；
若a≤e＜2a，即有a=e取得极小值，也为最小值，且为e，
即有a＜e，则有

e

2

＜a＜e；
若a＞e，则[a，2a]为增区间，则g（a）最小，且为

a

lna

，
由a＜

a

lna

，解得0＜a＜e，则a无解．
综上可得，1＜a＜e．
则有a的取值范围是（1，e）．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查函数的单调性的运用：求最值，考查分类讨论的思想方法，以及参数分离方法，考查化简运算能力，属于中档题和易错题．