Question

在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y²＝1有两个不同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围；

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解　(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，

代入椭圆方程得＋(kx＋)²＝1，

整理得x²＋2kx＋1＝0.①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中

Δ＝8k²－4＝4k²－2＞0，

解得k＜－或k＞.

即k的取值范围是

(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则＋＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)

由方程①得，x₁＋x₂＝－，

y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2＝＋2.

∵(＋)⊥，∴(x₁＋x₂)·(－)＋y₁＋y₂＝0，

即：－·(－)－＋2＝0.

解得k＝－，由(1)知k²＞，与此相矛盾，

所以不存在常数k使＋与垂直.