Question

数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=a_n²-na_n+1
（1）求证：a_n≥n+2；
（2）求证：

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

5

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用数学归纳法验证当n=1时，不等式成立．再假设a_k≥k+2，由此推导出a_k+1≥（k+1）+2，从而能证明a_n≥n+2．
（2）由已知得当k≥2时，a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥2a_k-1+1，于是

1

1+ak

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2，由此能证明

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

5

．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=a_n²-na_n+1，
∴①当n=1时，a₁=4≥1+2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥1）时成立，即a_k≥k+2，
∴a_k+1=a_k²-ka_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3，
即n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2，
∴由①②得a_n≥n+2．
∴a_n≥n+2．
（2）证明：∵a_n≥n+2，a_n+1=a_n²-na_n+1=a_n（a_n-n）+1，
∴当k≥2时，a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
…
∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2^k-1（a₁+1）-1，
于是

1

1+ak

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2，
∴

n

k=1

1

1+ak

≤

1

1+a1

+

1

1+a1

n

k=2

1

2k-1

=

1

1+a1

n

k=1

1

2k-1

≤

2

1+a1

=

2

5

，
∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

5

．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要注意数学归纳法、放缩法和累加法的合理运用．