Question

已知等比数列{a_n}前n项和为S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，设公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5）．
（Ⅰ）求a_n及b_n；
（Ⅱ）设数列{log 

2

 an}的前n项和为T_n，求使T_n＞b_n的最小的正整数n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得2²=（2-a）•4，解得a=1，从而an=2n-1．由已知得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），从而得到b_n=8n-5，n∈N^*．
（Ⅱ）由log 

2

 an=log

2

(2n-1)=2（n-1），得T_n=n（n-1）．由T_n＞b_n，得n（n-1）＞8n-5，由此能求出使T_n＞b_n的最小正整数n的值．

解答： （Ⅰ）∵等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，
∴a₁=S₁=2-a，
a₂=（2²-a）-（2-a）=2，
a₃=（2³-a）-（2²-a）=4，
∵a22=a1•a3，
∴2²=（2-a）•4，解得a=1，
∴an=2n-1．
∵公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，且（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5），
∴

b1=3 (b4+5)2=(b2+5)(b8+5)

，
∴（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
解得d=0（舍），或d=8，
∴b_n=8n-5，n∈N^*．
（Ⅱ）∵a_n=2^n-1，∴log 

2

 an=log

2

(2n-1)=2（n-1），
∴数列{log 

2

 an}的前n项和
T_n=2（1-1）+2（2-1）=2（3-1）+2（4-1）+…+2（n-1）
=2[0+1+2+3+…+（n-1）]
=2×

n(n-1)

2

=n（n-1）．
∵b_n=8n-5，T_n＞b_n，
∴n（n-1）＞8n-5，
∵n∈N^*，∴n≥9，
∴使T_n＞b_n的最小正整数n的值是9．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查使T_n＞b_n的最小正整数n的值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．