Question

1．如果对定义在区间D上的函数f（x），对区间D内任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x${\;}_{{\;}_{1}}$f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为区间D上的“H函数”，给出下列函数及函数对应的区间
①y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，（x∈R）
②y=3x+cosx-sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
③f（x）=（x+1）e^-x，x∈（-∞，1）
④f（x）=xlnx，x∈（0，$\frac{1}{e}$）
以上函数为区间D上的“H函数”的序号是①②（写出所有正确的序号）

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数，
①y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，（x∈R），
y′=x²-x+$\frac{1}{2}$＞0，函数递增，
②y=3x+cosx-sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
y′=3-sinx-cosx=3-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，函数递增，
③f（x）=（x+1）e^-x，x∈（-∞，1），
f′（x）=$\frac{x+2}{{e}^{x}}$，
显然函数在（-∞，-2）递增，在（-2，1）递减，
④f（x）=xlnx，x∈（0，$\frac{1}{e}$）
f′（x）=lnx+1＜0，函数递减，
故答案为：①②．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．