题目内容
12．若关于x的方程$\frac{lnx}{x}$-a=0（e为自然对数的底数）有实数根，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{e}$]．分析 由方程可得lnx=ax，令y=lnx与y=ax的函数图象有交点即可得出a的范围．
解答 解：由$\frac{lnx}{x}$-a=0得lnx=ax，
∴y=lnx与y=ax的函数图象有公共点，
作出y=lnx与y=ax的函数图象如图所示：
显然当a≤0时，y=ax与y=lnx的图象总有交点，符合题意；
设直线y=kx与y=lnx相切，切点为（x0，y0），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=k}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{e}$．
∴当0＜a≤$\frac{1}{e}$时，y=ax与y=lnx的图象有交点，符合题意；
当a$＞\frac{1}{e}$时，y=ax与y=lnx的图象没有交点，不符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{e}$]，
故答案为（-∞，$\frac{1}{e}$]．
点评 本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．
练习册系列答案
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2．如图是一个四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{6}$ | D． | $\frac{3}{8}$ |
3．函数f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x）的单调递增区间是（ ）
| A． | [-kπ-$\frac{π}{12}$，-kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z | B． | [2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z | ||
| C． | [kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z | D． | [kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z |